SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIK ELEM MENTER

BAB  I

PENDAHULUAN

A.  Latar Belakang Masalah

Sebuah sistem persamaan linier dikatakan homogen jika memuat konstan sama dengan nol, yakni sistem tistem itu berbentuk

   Tiap-tiap sistem persamaan linier homogeny adalah sistem yang konsisten karena x1=0, x2=0, …, xn=0,   selalu mempunyai solusi. Solusi tersebut dinamakan solusi trivial (solusi tunggal) jika ada solusi lain, maka solusi tersebut dinamakan solusi taktrivial (solusi takhingga).

Suatu matriks nxn disebut matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas In nxn dengan melakukan operasi baris. Matriks elementer dapat digunakan untuk menentukan suatu sistem koordinat pada bidang.

A.  Rumusan Masalah

1. Apa itu Sistem Persamaan Linier Homogen

2. Apa itu Matriks Elementer

B.  Tujuan Pembuatan Makalah

1.   Menjelaskan tentang Sistem Persamaan Linier Homogen

2.    Menjelaskan tentang Matriks Elementer

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Sistem Persamaan Linier Homogen

Sistem persamaan linier disebut homogen jika suku yang memuat konstanta adalah nol. Jadi sistem persamaan yang terbentuk menjadi demikian:

a11x1 +a12x2 +… +a1nxn = 0

a21x1 +a22x2 +…+a2nxn = 0

...

am1x1 +am2x2 +…+amnxn = 0

Karena suku konstantanya nol semua, maka sistem persamaan linier homogen ini selalu mempunyai penyelesaian, yaitu

x1 = x2 = … = xn = 0:

Pertanyaannya adalah apakah sistem persamaan tersebut juga mempunyai penyelesaian tak nol. Untuk menjawab pertanyaan ini, metode mencari penyelesaian sistem persamaan non homogen bisa tetap diterapkan.Sistem persamaan linear homogen merupakan sistem yang konsisten.^[1]

Sehingga mempunyai dua jenis penyelesaian yaitu:

1.Penyelesaian trivial

Penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen adalah nol.

Contoh :

x + 2 = 0

-x-2y+z=0

2x+3y+z=0

 Jawab :

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear homogen tersebut adalah:

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear homogen adalah

x=0 y=0 z=0

22.  Penyelesaian nontrivial

Penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen tidak hanya nol

tetapi ada penyelesaian lainnya.

Contoh :

Tinjaulah sistem persamaan linear homogen berikut ini.

x+6y-2x=0

2x-4y+z=0

Jawab :

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear homogen adalah

      

 

Bentuk sistem persamaan linear homogen adalah

Maka penyelesaiannya adalah

Misalkan z = k sehingga

       

Jadi penyelesaian sistem persamaan linier homogen tersebut adalah

Gambaran geometris dari suatu SPL homogen, yang memiliki penyelesaian trivial, berupa garis-garis yang berpotongan di titik pangkal. Sedangkan gambaran geometris dari suatu SPL homogen, yang memiliki penyelesaian non-trivial, berupa garis-garis yang berimpit dan berpotongan di titik pangkal .

 

B.     Matriks – Matriks Elementer

Satu matriks yang diperoleh dari matriks satuan I dengan melakukan satu operasi baris elementer disebut matriks elementer. Terdapat tiga jenis matriks-matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer.

Jenis 1 . matriks elementer jenis 1 adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan dua baris dari I.[2]

CONTOH 1. Misal

Mengalikan A di sebelah kiri dengan akan mempertukarkan baris pertama dan kedua dari A. Mengalikan A di sebelah kanan dengan  adalah ekivalen dengan operasi kolom elementer yang mempertukarkan kolom-kolom pertama dan kedua.

Jenis II. Matriks elementer jenis II adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan satu baris dari I dengan konstanta bukan nol

   

 

Perkalian disebelah kiri oleh E₂ melakukan barus elementer dengan mengalikan baris ketiga oleh 3. Sedang perkalian disebelah kanan oleh E₂melakukan oprasi kolom elementer dengan mengalikan kolom ke tiga dengan 3.

Jenis III. Matriks elementer jenis III adalah matriks yang diperoleh dari I dengan menjumlahkan kelipatan dari satu baris pada baris yang lain.^[3]

CONTOH 3

Perkalian disebelah kiri oleh akan menjumlahkan 3 kali baris ketiga pada baris pertama. Perkalian di sebelah kanan oleh akan menjumlahkan 3 kali kolom pertama padakolom ketiga.

Pada umumnya, misalkan E adalah matriks elementer nxn. Kita dapat menganggap  diperoleh dari I oleh suatu operasi baris atau suatu operasi kolom. Jika A adalah matriks nxn maka perkalian disebelah kiri E mempunyai pengaruh melakukan operasi baris yang sama tersebut pada A. Jika B adalah matriks mxn, maka perkalian sebelah kanan oleh ekivalen dengan melakukan operasi kolom yang sama pada B.

BAB III

PENUTUP

A.  Kesimpulan

      Sistem persamaan linier disebut homogen jika suku yang memuat konstanta adalah nol. Jadi sistem persamaan yang terbentuk menjadi demikian:

a11x1 +a12x2 +… +a1nxn = 0

a21x1 +a22x2 +…+a2nxn = 0

...

am1x1 +am2x2 +…+amnxn = 0

Karena suku konstantanya nol semua, maka sistem persamaan linier homogen ini selalu mempunyai penyelesaian, yaitu

x1 = x2 = … = xn = 0:

Pertanyaannya adalah apakah sistem persamaan tersebut juga mempunyai penyelesaian tak nol. Untuk menjawab pertanyaan ini, metode mencari penyelesaian sistem persamaan non homogen bisa tetap diterapkan.Sistem persamaan linear homogen merupakan sistem yang konsisten.

Satu matriks yang diperoleh dari matriks satuan I dengan melakukan satu operasi baris elementer disebut matriks elementer. Terdapat tiga jenis matriks-matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer

B.  Saran

  Kami sebagai penyusun menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini termasuk jauh dari sempurna. Oleh karna itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari para pembaca.

DAFTAR PUSTAKA

Leon Steven J, 2001,  Aljabar Lineer dan Aplikasinya,  Erlangga, Jakarta.

Muhanad ‘imrona, 2012,  Aljabar Linier Dasar, Erlangga, Jakarta.

---

^[1] Muhanad ‘imrona, Aljabar Linier Dasar, (Jakarta: Erlangga, 2012), hlm 36.

[2] Leon Steven J, Aljabar Lineer dan Aplikasinya ,( Jakarta; Erlangga, 2001). hlm 55

^[3] Ibid, 56