Matriks dan sistem persamaan

A.                Sistem Persamaan Linier

1.      Sistem Persamaan Linier

            Suatu persamaan linier dalam n peubah (variabel) adalah persamaan dengan bentuk:

a₁x₁ + a₂x₂ + . . . a_nx_n  =  b

dimana  a₁, a₂  . . . a_ndan b adalah bilangan-bilangan real dan  x_1, x₂ . . . x adalah peubah. Dengan demikian maka suatu sistem linier dari m persamaan dalam n peubah adalah suatu sistem yang berbentuk :

a₁₁x₁+ a₁₂x₂ + . . . a_nx_n=   b₁

a₂₁x₁+ a₂x₂ + . . . a_2nx_n =   b₂

.

.

a_m1x₁ + a_m2x₂ + . . . a_mnx_n  =b_m

dimana aijdan bi semuanya adalah bilangan real. Kita akan meyenbut sistem-sistem bentuk 1 sebagai sistem linier m x n

contohnya ialah : 

a.      x₁ + 2x₂    = 5               b. x₁ – x₂ + x₃    =  2                c. x₁   +   x₂    =  2

 2x₁ + 3x₂   = 8              2x₁ + x₂  +  x₃  = 4                    x₁   –    x₂    =  1

                                                                                                     x₁   =  4

Sistem (a) adalah sistem 2 x 2, (b) adalah sistem 2x3, dan (c) adalah sistem 3x2.

            Yang dimaksud dengan penyelesaian sistem m x n) adalah tupel-n terurut bilangan-bilangan (x₁, x₂, . . .,x_n) yang memenuhi semua persamaan dalam sistem. Sebagai contoh pasangan terurut (1, 2) adalah penyelesaian dari sistem (a), karena:

                        1 .(1) + 2. (2)  = 5

                        2.  (1) + 3.(2)   = 8

Tupel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari sistem (b) karena:

                        1 . (2)  – 1. (0)  + 1. (0)  = 2

                        2.  (2)  + 1. (0) – 1 . (0)  = 4

            Sebenarnya sistem (b) memiliki banyak penyelesaian. Jika a adalah sembarang bilangan real, maka dapat dilihat dengan mudah bahwa tupel berturut-turut (2, a, a) dalah suatu penyelesaian. Akan tetapi sistem (c) tidak memilki penyelesaian. Terlihat dari persamaan ketiga bahwa koordinat pertama dari sembarang penyelsaian harus memilki nilai 4. Dengan menggunakan x₁ = 4 dalam kedua penyelesaian yang pertama. Jika dilihat lagi bahwa koordinat kedua harus memenuhi :

4 + x₂ = 2

4 – x₂ = 1

            Karena tidak terdapat bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini, maka sistem (c) tidak memiliki penyelesaian. Jika linier tidak memiliki penyelesaian, maka dikatakan sistem tersebut adalah tak konsisten  (inconsistent). Jika sistem linier mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, dikatakan sistem tersebut konsisten (consistent).

2.      Sistem Ekivalen

            Tinjau dua sistem:

(a)        3x₁ +  2x₂  – x₃    =  -2             (b)    3x₁ +  2x₂  – x₃     =  -2  

               x₂    =   3                     -3x₁ –   x₂  + x₃     =   5   

         2x₃   =  4                      3x₁ +  2x₂  + x₃    =   2   

            Sistem (a) mudah diselesaikan, karena x₂ = 3 dan x₃= 2. Dengan menggunakan kedua nilai ini akan diperoleh:

3x₁+  2.3  – 2    = - 2

  x₁                     = - 2

jadi penyelesaian dari sistem (a) adalah ( -2, 3, 2). Sistem (b) tampaknya lebih sulit untukdiselesaikan, penyelesaian sistem (b) sebagai berikut:

                        3x₁+  2x₂  – x₃      =  -2           

                       -3x₁ –   x₂   + x₃     =   5           

x₂   =   3

Jika (x₁ , x_{2 ,} x₃ ) adalah sembarang penyelesaian (b), maka (x₁ , x_{2 ,} x₃ ) harus memenuhi semua persamaan dari sistem. Maka penyelesaian berikutnya:

                        3x₁+  2x₂  +   x₃         =    2     

                        3x₁  +  2 x₂  –  x₃       =   -2     

 2x₃     =   4

Dengan metode subtitusi diperoleh tupel terurut (-2, 3, 2), sehingga mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dengan sistem  (a).

            Berikut adalah tiga operasi yang dapat digunakan pada suatu sistem untuk memperoleh sistem yang ekivalen :

       I.            Urutan penulisan dua persamaan dapat dipertukarkan

    II.            Kedua ruas dari suatu persamaan dapat dikalikan dengan bilangan real bukan nol yang sama.

 III.            Kelipatan dari suatu persamaan dapat dijumlahkan pada persamaan yang lain.

3.       Sistem n x n

 Suatu sistem dikatakan memiliki bentuk segitiga, jika koefisien-koefisien dari k-1 peubah yang pertama dalam persamaan ke- k semuanya nol dan koefisien dari x_k adalah bukan nol (k =1, …,n).

Contoh:

                        3x₁+  2x₂  +   x₃      =    1

                                    x₂   +   x₃     =    2

                                             2 x₃     =   4

            Memiliki bentuk segitiga, karena koefisien-koefisien dalam persamaan kedua masing-masing adalah 0, 1, -1, dan koefisien-koefisien dalam persamaan ketiga masing-masing adalah 0,0,2. Karena bentuk segitiga, persamaan ini mudah diselesaikan.

            Metode yang digunakan dalam persamaaan ini adalah Back substitution atau subtitusi balik. Pertama, persamaan ke-n diselesaikan untuk mendapatkan nilai x_n. Nilai ini digunakan dalam persamaan ke n-1 untuk mendapatkan nilai x _n-1 dan nilai x_ndan x _n-1 digunakan dalam persamaan ke n-2 untuk mendapatkan nilai x _n-2 dan seterusnya.

Jika suatu  sistem persamaan tidak berbentuk segitiga, maka digunakan Operasibaris Elementer (OBE).

4.      Operasi Baris Elementer (OBE)

            Untuk menentukan solusi dari Sistem Persamaan Linier  dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar dari Sistem Persamaan Linier dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secaras istematik.

1. Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol.
2. Pertukarkan dua persamaan tersebut.
3. Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya.

Karena baris (garishorisontal) dalam matriks yang diperbesar beresuaian denganpersamaan dalam sistem yang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka ketiga operasi ini bersesuaian dengan operasi berikut pada barismatriks yang diperbesar.

1. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tak sama dengan nol.
2. Pertukarkanlah dua baris tersebut.
3. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang lainnya.

Operasi-operasi ini dinamakan Operasi Baris Elementer (OBE).

Contoh dari OBE ini ialah :

x + y + 2z        = 9

2x + 4y – 3z    = 1

3x + 6y – 5z    = 0

Penyelesaian :

Ubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks yang diperbesar

Kemudian gunakan OBE :

1. Baris kedua : B₂ + (-2)B₁,

Baris ketiga : B₃ + (-3)B₁,

2. Baris kedua : B₂ x (1/2),

3           3.   Baris ketiga : B₃ + (-3)B₂,

4. Baris ketiga : B₃ x 2,

B.                 Bentuk Eselon Baris dan Eseolon Baris Tereduksi

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

• Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
• Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
• Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
• Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebutEselon-baristereduksi

Contoh:

• syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1

• syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

• syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

• syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke-4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

OperasiEliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut kedalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baristereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Contoh: Diketahui persamaan linear

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab: Bentuk persamaan tersebut kedalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

           

BAB 3

PENUTUP

A.                Kesimpulan

1.      Sistem Persamaan Linier

            Suatu persamaan linier dalam n peubah (variabel) adalah persamaan dengan bentuk:

a₁x₁ + a₂x₂ + . . . a_nx_n  =  b

dimana  a₁, a₂  . . . a_ndan b adalah bilangan-bilangan real dan  x_1, x₂ . . . x adalah peubah. Dengan demikian maka suatu sistem linier dari m persamaan dalam n peubah adalah suatu sistem yang berbentuk :

a₁₁x₁+ a₁₂x₂ + . . . a_nx_n=   b₁

a₂₁x₁+ a₂x₂ + . . . a_2nx_n =   b₂

.

.

a_m1x₁ + a_m2x₂ + . . . a_mnx_n  =b_m

dimana aijdan bi semuanya adalah bilangan real. Kita akan meyenbut sistem-sistem bentuk 1 sebagai sistem linier m x n

2.    Sistem Ekivalen

            tiga operasi yang dapat digunakan pada suatu sistem untuk memperoleh sistem yang ekivalen :

a.       Urutan penulisan dua persamaan dapat dipertukarkan

b.      Kedua ruas dari suatu persamaan dapat dikalikan dengan bilangan real bukan nol yang sama.

c.       Kelipatan dari suatu persamaan dapat dijumlahkan pada persamaan yang lain.

3.                        Sistem n x n

            Suatu sistem dikatakan memiliki bentuk segitiga, jika koefisien-koefisien dari k-1 peubah yang pertama dalam persamaan ke- k semuanya nol dan koefisien dari x_k adalah bukan nol (k =1, …,n).

4.                                     Operasi Baris Elementer (OBE)

            Untuk menentukan solusi dari Sistem Persamaan Linier  dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar dari Sistem Persamaan Linier dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secaras istematik.

5.                   Bentuk Eselon Baris dan Eselon Baris Tereduksi

            Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

• Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
• Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
• Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
• Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebutEselon-baristereduksi

B.                 Saran

            Menurut kami sebagai penulis makalah, makalah ini masih sangat jauh dari kata sempurna. Masih terdapat banyak kekurangan dalam segi materi ataupun penulisan maka dari itu kami meminta kritiknya sekaligus saran yang baik bagi makalah kami dari pihak pembaca. Terima kasih

Soal